变分自编码器VAE在自然工控数据测控技术中的应用教程
在这个自然界中，我们面临着一个复杂的数据集DX，它似乎受到某种神秘力量的操控，但我们对这些力量一无所知。为了探索这一现象，我们假设这股神秘力量有n个主要因素，每个因素都有一个对应的变量，称为z1, z2, ..., zn，这些变量构成了一个隐变量向量z。我们将这个隐变量空间称为ZS。
每个数据点在DX中都与一个独特的神秘组合相关联，而这个组合是通过一些未知的方式由n个主要因素决定的。为了简化问题，我们假设这些主要因素不是完全控制数据集DX，而是存在一些其他不可预测的影响力。这时，我们可以使用概率来补偿这些缺失信息。
我们的目标是在没有关于具体分布情况的情况下，找到一种方法来描述X与Z之间的关系。为了实现这一点，我们引入了一个确定性函数族f(z;θ)，其中θ是一个参数向量。当θ固定时，每个函数f映射从ZS到XS，并且具有相应的一组概率密度函数g(x)。
最终，我们希望通过优化参数θ来找到这样一个函数f，使得它能够生成类似于观察到的数据集DX。在数学上，这可以表示为最大化公式(1)，即：
Pt(DX) = ∫[∫g(x)f(z;θ)dxdPz(z)]
这里 Pt(DX) 是数据集DX出现的概率，g(x) 是 x 的概率密度函数，Pz(z) 是 z 的概率密度分布。在实际应用中，这意味着我们需要找到最佳解 θ 来最大化公式(1)，以便生成符合观察到的数据集 DX 的样本。
然而，在进行这种研究之前，有几个关键问题需要解决：首先，要确定隐变量 Z 中每个维度代表什么，以及它们之间是否独立；其次，还要了解 Z 的具体分布和取值范围。但是，由于这些都是未知数，因此我们可能需要寻找一种巧妙的手段来避免陷入过多细节的问题，比如引入新的、更简单但仍然有效的人工设计，如让隐变量服从标准正态分布 N(0,I)，然后通过一系列复杂计算（例如用神经网络）将其转换成可用于模型中的形式。此外，还有一些其他棘手的问题，如如何处理 z 取值范围内不同取值的情况等，也会在后续讨论中详细展开。
